Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{6}$=0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的离心率e，以及圆心（0，0）到直线x-y+$\sqrt{6}=0$的距离求出a，b，即可求解椭圆的方程．（2）设直线PB的方程为y=k（x-4）联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-4）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，设点B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），通过韦达定理求出直线方程，即可求出定点坐标．

解答 解：（1）由题意知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，即a²=$\frac{4}{3}{b}^{2}$…（2分）
又∵圆心（0，0）到直线x-y+$\sqrt{6}=0$的距离为$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1+1}}=\sqrt{3}$，∴b=$\sqrt{3}$．
∴a=2，故椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$…（4分）
（2）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x-4）
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-4）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0①…（6分）
设点B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则A（x₁，-y₁），直线AE的方程为$y-{y_2}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（x-{x_2}）$
令y=0，得x=${x}_{2}-\frac{{y}_{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{y}_{2}+{y}_{1}}$，…（8分）
再将y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）代入
整理得x=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{2}+{x}_{1}-8}$②…（10分）
由①得x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
代入②整理得x=1，
所以直线AE与x轴相交于定点（1，0）…（12分）．

点评 本题考查直线方程与椭圆方程的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．