Question

14．从椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F₁，点A、B是椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点，且AB∥OM，|F₁A|=$\sqrt{10}+\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ） 若P是该椭圆上的动点，右焦点为F₂，求$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先计算PF₁的长，再利用两直线平行得tan∠MOF₁，最后在直角三角形MOF₁中，找到a、b、c间的等式，从而求出离心率；
（Ⅱ）由|F₁A|=$\sqrt{10}+\sqrt{5}$，可得a+c=$\sqrt{10}+\sqrt{5}$，再由a=$\sqrt{2}$c，解得a，c，再求b，进而得到椭圆方程，设出P的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合椭圆的范围，即可得到所求的最值，进而得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）设F₁（-c，0），
将x=-c代入椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），
得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴|PF₁|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，|OF₁|=c，
∵AB∥OM，∴tan∠POF₁=tan∠BAO=$\frac{b}{a}$，
∴在直角三角形MOF₁中，tan∠MOF₁=$\frac{|M{F}_{1}|}{|O{F}_{1}|}$=$\frac{{b}^{2}}{ac}$=$\frac{b}{a}$，
∴b=c，∴a=$\sqrt{2}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ） 由|F₁A|=$\sqrt{10}+\sqrt{5}$，
可得a+c=$\sqrt{10}+\sqrt{5}$，
又a=$\sqrt{2}$c，解得a=$\sqrt{10}$，c=$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{5}$，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
设P（m，n），可得m²+2n²=10，
又F₁（-$\sqrt{5}$，0），F₂（$\sqrt{5}$，0），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{5}$-m，-n），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{5}$-m，-n），
即有$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=（-$\sqrt{5}$-m）（$\sqrt{5}$-n）+n²
=m²+n²-5=10-n²-5=5-n²，
由-$\sqrt{5}$≤n≤$\sqrt{5}$，
可得n=0，取得最大值5，n=$\sqrt{5}$时，取得最小值0．
则$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的取值范围是[0，5]．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查椭圆离心率的求法，注意运用两直线平行的条件，考查平面向量的数量积的范围，注意运用坐标表示，结合椭圆的范围，属于中档题．