Question

11．已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线AB和AC分别与直线x=4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意方程求出a，b的值，结合隐含条件求得c，则椭圆离心率可求；
（Ⅱ）设出BC所在直线方程x=ty+1，与椭圆方程联立，把AB，AC的方程用含有A，B的坐标表示，再由MP⊥NP，利用数量积为0求解．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆方程可得，a=2，b=$\sqrt{3}$，
从而椭圆的半焦距$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=1$．
∴椭圆的离心率为$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）解：依题意，直线BC的斜率不为0，设其方程为x=ty+1．
将其代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，整理得（4+3t²）y²+6ty-9=0．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-6t}{4+3{t}^{2}}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{4+3{t}^{2}}$．
直线AB的方程是$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}（x+2）$，从而可得M（4，$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$），
同理可得$N（4，\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}）$．
假设x轴上存在定点P（p，0）使得MP⊥NP，则有$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=0$．
∴$（p-4）^{2}+\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}=0$．
将x₁=ty₁+1，x₂=ty₂+1代入上式，整理得$（p-4）^{2}+\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{{t}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+3t（{y}_{1}+{y}_{2}）+9}=0$．
∴$（p-4）^{2}+\frac{36（-9）}{{t}^{2}（-9）+3t（-6t）+9（4+3{t}^{2}）}=0$，即（p-4）²-9=0，
解得p=1，或p=7．
∴x轴上存在定点P（1，0）或P（7，0），使得MP⊥NP成立．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线和圆锥曲线位置关系的应用，训练了平面向量数量积在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．