Question

8．对于定义域为R的函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：

x	-2	-1	0	1	2	3	4	5
y	0	2	3	2	0	-1	0	2

（1）求f{f[f（0）]}；
（2）数列{x_n}满足x₁=2，且对任意n∈N^*，点（x_n，x_n+1）都在函数y=f（x）的图象上，求x₁+x₂+…+x_4n；
（3）若y=f（x）=Asin（ωx+φ）+b，其中A＞0，0＜ω＜π，0＜φ＜π，0＜b＜3，求此函数的解析式，并求f（1）+f（2）+…+f（3n）（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）根据复合函数的性质，由内往外计算可得答案．
（2）根据点（x_n，x_n+1）都在函数y=f（x）的图象上，带入，化简，不难发现函数y是周期函数，即可求解x₁+x₂+…+x_4n的值．
（3）根据表中的数据，带入计算即可求解函数的解析式．

解答 解：（1）根据表中的数据：f{f[f（0）]}=f（f（3））=f（-1）=2．
（2）由题意，x₁=2，点（x_n，x_n+1）都在函数y=f（x）的图象上，
即x_n+1=f（x_n）
∴x₂=f（x₁）=f（2）=0，
x₃=f（x₂）=3，
x₄=f（x₃）=-1，
x₅=f（x₄）=2
∴x₅=x₁，
∴函数y是周期为4的函数，
故得：x₁+x₂+…+x_4n=4n．
（3）由题意得 $\left\{\begin{array}{l}f（-1）=2\begin{array}{l}{\;}…{（1）}\end{array}\\ f（1）=2\begin{array}{l}{\;}…{（2）}\end{array}\\ f（0）=3\begin{array}{l}{\;}…{（3）}\end{array}\\ f（2）=0\begin{array}{l}{\;}…{（4）}\end{array}\end{array}\right.$
由（1）-（2）∴sin（ω+φ）=sin（-ω+φ）∴sinωcosφ=0．
又∵0＜ω＜π
∴sinω≠0．
∴cosφ=0
而0＜φ＜π
∴$φ=\frac{π}{2}$
从而有$\left\{{\begin{array}{l}{A+b=3}\\{Acosω+b=2}\\{Acos2ω+b=0}\end{array}}\right.⇒b=3-A⇒\left\{{\begin{array}{l}{Acosω+3-A=2}\\{A（2{{cos}^2}ω-1）+3-A=0}\end{array}}\right.$．
∴2A²-4A+2-2A²+3A=0．
∴A=2．b=1$cosω=\frac{1}{2}$，
∵0＜ω＜π，
∴$ω=\frac{π}{3}$．
∴$f（x）=2cos\frac{π}{3}x+1$．
此函数的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{3}}$=6，
f（6）=f（0）=3
∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=6，
∴①当n=2k（k∈N^*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）=f（1）+f（2）+…+f（6k）=k[f（1）+f（2）+…+f（6）]=6k=3n．
②当n=2k-1（k∈N^*）时．f（1）+f（2）+…+f（3n）=f（1）+f（2）+…+f（6k）-f（6k-2）-f（6k-1）-f（6k）=k[f（1）+f（2）+…+f（6）]-5=6k-5=3n-2．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，求出解析式是解决本题的关键．属于中档题．