Question

7．函数y=$\frac{sinx+1}{cosx+3}$的值域为[0，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 由题意可得sin（x+θ）=$\frac{3y-1}{\sqrt{{1+y}^{2}}}$，再根据正弦函数的值域可得-1≤$\frac{3y-1}{\sqrt{{1+y}^{2}}}$≤1，由此求得y的范围．

解答 解：∵y=$\frac{sinx+1}{cosx+3}$，∴sinx+1=ycosx+3y，即 sinx-ycosx=3y-1，
即$\sqrt{{1+y}^{2}}$sin（x+θ）=3y-1，其中tanθ=-y，即 sin（x+θ）=$\frac{3y-1}{\sqrt{{1+y}^{2}}}$．
再根据正弦函数的值域可得-1≤$\frac{3y-1}{\sqrt{{1+y}^{2}}}$≤1，（3y-1）²≤1+y²，
求得0≤y≤$\frac{3}{4}$，故函数y的值域为[0，$\frac{3}{4}$]，
故答案为：[0，$\frac{3}{4}$]．

点评 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，三角函数的最值，属于中档题．