Question

已知函数y=f（x），x∈D，设曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线的方程为y=kx+m，如果对任意的x∈D，均有：
①当x＜x₀时，f（x）＜kx+m；
②当x=x₀时，f（x）=kx+m；
③当x＞x₀时，f（x）＞kx+m．
则称x₀为函数y=f（x）的一个“∫-点”．
（Ⅰ）判断0是否是下列函数的“∫-点”：
①f（x）=x³；②f（x）=sinx．（只需写出结论）
（Ⅱ）设函数f（x）=ax²+lnx．
①若a=

1

2

，证明：1是函数y=f（x）的一个“∫-点”；
②若函数y=f（x）存在“∫-点”，直接写出a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,进行简单的合情推理

专题：证明题,新定义,函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）由新定义，即可判断①0是f（x）=x³的“?-点”；②0不是f（x）=sinx的“?-点”．
（Ⅱ）①当a=

1

2

时，求出函数f（x）的导数，求出切线斜率和切点，以及切线方程，再由定义即可判断；
②求出导数，求出切线斜率和方程，由新定义，即可判断a＞0．

解答： 解：（Ⅰ）①0是f（x）=x³的“?-点”；
②0不是f（x）=sinx的“?-点”．
（Ⅱ）当a=

1

2

时，f(x)=

1

2

x2+lnx．
其定义域为（0，+∞），f′(x)=x+

1

x

（x＞0）．
①证明：因为 f'（1）=2，f(1)=

1

2

．
所以 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-

1

2

=2(x-1)，
即 y=2x-

3

2

．
令 g(x)=f(x)-(2x-

3

2

)=

1

2

x2+lnx-2x+

3

2

．
则 g′(x)=x+

1

x

-2=

(x-1)2

x

．
因为 x＞0，
所以 g′(x)=

(x-1)2

x

≥0．
所以函数g（x）是（0，+∞）上的增函数．
所以当0＜x＜1时，g（x）＜g（1）=0，即f(x)＜2x-

3

2

；
当x=1时，g（x）=g（1）=0，即f(x)=2x-

3

2

；
当x＞1时，g（x）＞g（1）=0，即f(x)＞2x-

3

2

．
所以 1是函数y=f（x）的“?-点”．
②若函数y=f（x）存在“?-点”，则a的取值范围是a＞0．

点评：本题考查新定义的理解和运用，考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查单调性的运用，属于中档题．