题目内容

f（x）=2
3
sinxcosx-2sin2x+a，a∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．
考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）将函数f（x）进行化简，利用三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若函数f（x）有零点，求出函数的取值范围即可求实数a的取值范围．
解答： 解：（1）f（x）=2
3
sinxcosx-2sin2x+a=
3
sin2x+cos2x-1+a
=2sin（2x+
π
6
）+a-1，
则函数f（x）的最小正周期T=
2π
2
=π，
由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
π
2
+2kπ，
解得-
π
3
+kπ≤x≤
π
6
+kπ，
即函数的单调递增区间为[-
π
3
+kπ，
π
6
+kπ]，k∈Z．
（2）若函数f（x）有零点，
则2sin（2x+
π
6
）+a-1=0有解，
即2sin（2x+
π
6
）=1-a，
∵-2≤2sin（2x+
π
6
）≤2，
∴-2≤1-a≤2，
解得-1≤a≤3，
即实数a的取值范围-1≤a≤3．
点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知函数y=f（x），x∈D，设曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的方程为y=kx+m，如果对任意的x∈D，均有：
①当x＜x0时，f（x）＜kx+m；
②当x=x0时，f（x）=kx+m；
③当x＞x0时，f（x）＞kx+m．
则称x0为函数y=f（x）的一个“∫-点”．
（Ⅰ）判断0是否是下列函数的“∫-点”：
①f（x）=x3；②f（x）=sinx．（只需写出结论）
（Ⅱ）设函数f（x）=ax2+lnx．
①若a=
1
2
，证明：1是函数y=f（x）的一个“∫-点”；
②若函数y=f（x）存在“∫-点”，直接写出a的取值范围．
化简
cos40°
cos25°
1-sin40°
=
 
．
设函数y=lg（-x2+4x-3）的定义域为A，函数y=
2
x+1
，x∈（0，m）的值域为B．
（1）当m=2时，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
已知函数y=f（x）是一次函数，且f（2x）+f（3x+1）=-5x+9，求f（x）的表达式．
已知f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*），且对任意m，n∈N*都有：
①f（m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=2f（m，1）
则（1）f（5，6）=
 
，（2）f（m，n）=
 
．
f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（-1）+g（1）=4，f（1）+g（-1）=2，则g（1）=
 
．
已知tan2α=-2
2
，且满足
π
4
＜α＜
π
2
，则
2cos2
α
2
-sinα-1
2
sin(
π
4
+α)
的值为（　　）
A、
2
B、-
2
C、-3+2
2
D、3-2
2
若等比数列{an}满足a2=3，a4=9，则a6=
 
．

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