Question

已知数列{a_n}中，a_n∈N^*，对于任意n∈N^*，a_n≤a_n+1，若对于任意正整数k，在数列中恰有k个k出现，求a₅₀=

 

．

Answer 1

考点：数列的概念及简单表示法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：首先根据定义可知数列{a_n}是不减的，小的数一定在前面，各项依次为1个1，2个2，3个3，…，k个k；然后判断出第50项所在的组，据此求出a₅₀．

解答： 解：∵数列{a_n}中，a_n∈N⁺，对于任意n∈N⁺，a_n≤a_n+1，对任意的正整数k，该数列中恰有k个k，
∴数列{a_n}是不减的，小的数一定在前面，各项依次为1个1，2个2，3个3，…，K个K，
∴数列是1；2，2；3，3，3；4，4，4，4；…
当n=9时，可得
1+2+3+…+n=

9×10

2

=45＜50，
当n=10，可得
1+2+3+…+n=

10×11

2

=55＞50，
∴a₅₀在第10组中，因此a₅₀=10．
故答案为：10．

点评：本题主要考查了数列的项与项数，考查了数列的函数特性，属于基础题，解答此题的关键是首先判断出数列{a_n}是不减的，小的数一定在前面，各项依次为1个1，2个2，3个3，…，k个k．