Question

(13分)如图,正方体中．
(Ⅰ)求与所成角的大小；
(Ⅱ)求二面角的正切值．

Answer 1

(Ⅰ)异面直线与所成角为；(Ⅱ)二面角的正切值为。

(I)连接B₁C，则易证B­₁C//A₁D,所以就是异面与所成角,然后解三角形求此角即可.
(II)连接BD交AC于O点，则易证就是二面角的平面角，然后再直角三角形B₁BO中求此角即可.
(Ⅰ)在正方体中, --------------------1
∴A₁B₁CD为平行四边形,∴,--------------------------- 2
所以∠ACB₁或其补角即异面直线与所成角………………3
设正方形边长为
在中,AC=B₁A=B₁C=,………………………….5
∴∠ACB₁=
所以异面直线与所成角为……………………………..6
(Ⅱ)连结BD交AC于O,连结B₁O,…………………………………….7
∵O为AC中点, B₁A=B₁C,BA=BC
∴B₁O⊥AC,BO⊥AC………………………………….9
∴∠B₁OB为二面角的平面角.---------------------------10
在中, B₁B=,BO=--------------------12
∴∠B₁OB=
故二面角的正切值为---------------------13.