Question

（本小题满分12分）
正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2，E，F分别是D₁B，AD的中点，
（1）建立适当的坐标系，求出E点的坐标；
（2）证明：EF是异面直线D₁B与AD的公垂线；
（3）求二面角D₁—BF—C的余弦值.

Answer 1

（1）E点坐标为（1，1，1）. （2）见解析；（3）二面角D₁—BF—C的余弦值为.

(1)以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则易确定A、B、C的坐标分别为A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）.设D­₁（0，0，2m）（m>0），则E（1, 1, m）.

(2)利用向量垂直的坐标运算证明和即可.
(3)利用向量法求二面角，首先求出两个面的法向量，再根据法向量的夹角与二面角相等或互补来求二面角的大小.
（1）以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A、B、C的坐标分别为A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）.
设D­₁（0，0，2m）（m>0），则E（1, 1, m）.

故E点坐标为（1，1，1）.                                 …………………4分
（2）由（I）可知，正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁是棱长为2的正方体.
又∵FD=1， ∴F（1，0，0），

故EF是AD与D₁B的公垂线.                                 …………………8分
（3）设n⊥平面FD₁B，n=（x，y，z）


取n₀=（2，－1，1），                              …………………10分
则n₀与所成角θ等于二面角D₁—FB—C的平面角，

∴二面角D₁—BF—C的余弦值为                         …………………12分
解法二：（Ⅲ）延长CD交BF延长线于P，作DN⊥BP于N，连ND₁，
∵DD₁⊥平面ABCD，      ∴ND₁⊥BP，
∴∠DND₁就  是二面角D₁—FD—C的平面角.      ……10分
在Rt△DFP中，DP=2，FD=1，FP=，  

∴二面角D₁—BF—C的余弦值为.   ……………………12分