Question

2．如图，在直三棱柱 ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D、E分别是棱BC、CC₁上的点（点D不在BC的端点处），且AD⊥DE，F为B₁C₁的中点．
（1）求证：AD⊥平面B₁BCC₁；
（2）求证：A₁F∥平面ADE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先证明AD⊥CC₁，然后AD⊥DE，即可得到AD⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）得AD⊥平面B₁BCC₁，连接DF，得DF∥AA₁，且DF=AA₁，即可得到相应的结论．

解答 证明：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴AD⊥CC₁，
∵AD⊥DE，且DE∩CC₁=D，
∴AD⊥平面B₁BCC₁，
（Ⅱ）根据（Ⅰ）得AD⊥平面B₁BCC₁，
∵BC?平面B₁BCC₁，
∴AD⊥BC，
在△ABC中，AB=AC，
∴D为BC的中点，
连接DF，得DF∥AA₁，且DF=AA₁，即四边形AA₁FD为平行四边形，
∴A₁F∥AD，
∵AD?平面ADE，A₁F?平面ADE，
∴A₁F∥平面ADE．

点评 本题重点考查了空间中直线与平面平行、垂直，直线与直线平行的判定等知识，属于中档题，难度中等，解题关键是准确判断平行和垂直的判定和性质．