Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{2}{S}_{n}（n=1，2，3…）$
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log$\frac{3}{2}$（3a_n+1）时，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1=$\frac{1}{2}{S}_{n}（n=1，2，3…）$与a_n=$\frac{1}{2}$S_n-1（n≥2）作差，整理可知数列{a_n}是首项为1、公比为$\frac{3}{2}$的等比数列，进而计算可得结论；
（2）通过（1）裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$-$\frac{1}{n+1+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$，进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=$\frac{1}{2}{S}_{n}（n=1，2，3…）$，a_n=$\frac{1}{2}$S_n-1（n≥2），
∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{2}$a_n，即a_n+1=$\frac{3}{2}$a_n，
又∵a₁=1，
∴数列{a_n}是首项为1、公比为$\frac{3}{2}$的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{{3}^{n-1}}{{2}^{n-1}}$；
（2）由（1）可知b_n=log$\frac{3}{2}$（3a_n+1）=log$\frac{3}{2}$（$\frac{{3}^{n+1}}{{2}^{n}}$）=n+$lo{g}_{\frac{3}{2}}3$，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+lo{g}_{\frac{3}{2}}3）（n+1+lo{g}_{\frac{3}{2}}+3）}$=$\frac{1}{n+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$-$\frac{1}{n+1+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$，
∴T_n=$\frac{1}{1+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$-$\frac{1}{2+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$+…+$\frac{1}{n+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$-$\frac{1}{n+1+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$
=$\frac{1}{1+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$-$\frac{1}{n+1+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．