Question

17．已知曲线y=$\sqrt{x}$与y=$\frac{8}{x}$的交点为P，两曲线在点P处的切线分别为l₁，l₂，则切线l₁，l₂及y轴所围成的三角形的面积为6．

Answer 1

分析 先联立方程，求出两曲线交点，再分别对y=$\sqrt{x}$与y=$\frac{8}{x}$求导，利用导数，求出两曲线在交点处的切线斜率，利用点斜式求出切线方程，找到两切线与y轴交点，最后用面积公式计算面积即可．

解答 解：曲线y=$\sqrt{x}$与y=$\frac{8}{x}$，它们的交点坐标是P（4，2），
y=$\sqrt{x}$的导数为y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，在P处的切线的斜率为$\frac{1}{4}$，
y=$\frac{8}{x}$的导数为y′=-$\frac{8}{{x}^{2}}$，在P处的切线的斜率为-$\frac{1}{2}$，
两条切线方程分别是y=$\frac{1}{4}$x+1和y=-$\frac{1}{2}$x+4，
x=0时，y=1和y=4，
两切线的交点为（4，2），
于是三角形三顶点坐标分别为 （0，1）；（0，4）；（4，2），
它们与y轴所围成的三角形的面积是$\frac{1}{2}$×（4-1）×4=6．
故答案为：6．

点评 本题考查了利用导数求切线方程，注意运用直线方程，求交点，考查面积公式的运用，属于中档题．