Question

10．设y=f（t）是某港口水的深度关于时间t（时）的函数，其中0＜t≤24，下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系．

t	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y	12	15.1	12.1	9.1	11.9	14.9	11.9	8.9	12.1

经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=k+Asin（ωt-φ）的图象．根据上述数据，函数y=f（t）的解析式为（　　）

• A． y=12+3sin$\frac{πt}{6}$，t∈[0，24]
• B． y=12+3sin（$\frac{πt}{6}$+π），t∈[0，24]
• C． y=12+3sin$\frac{πt}{12}$，t∈[0，24]
• D． y=12+3sin（$\frac{πt}{12}$+$\frac{π}{2}$），t∈[0，24]

Answer 1

分析 根据最大值和最小值求出A和h，根据相邻的两个最大值之间横坐标的差，求得周期，从而求得ω，再把特殊点代入求得φ的值，从而得到函数的解析式．

解答 解：由图表可得函数y=k+Asin（ωt+φ）的最大值为15，最小值为9，
故k=$\frac{15+9}{2}$=12，且A=15-12=3．
由于当函数取得最大值时，相邻的两个t值分别为t=3和t=15，
故函数的周期等于15-3=12=$\frac{2π}{ω}$，
解得ω=$\frac{π}{6}$，
故函数的解析式为 y=12+3sin（$\frac{π}{6}$t+φ）．
再由当t=0时，函数值等于12，
可得12+3sinφ=12，
∴sinφ=0，
∴φ=kπ，k∈z，故可取φ=0．
故函数的解析式为y=12+3sin（$\frac{π}{6}$t），t∈[0，24]，
故选：A．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，根据最大值和最小值求出A和h，根据相邻的两个最大值之间横坐标的差，求得周期，从而求得ω，再把特殊点代入求得φ的值，属于中档题．