Question

已知函数f（x）=

-x2+2x，x≤0 ln(x+1)，x＞0

，若f（x）=ax有且只有一个实数解，则a的取值范围是（　　）

• A、[1，2]
• B、（-∞，0]
• C、（-∞，0]∪[1，2]
• D、（-∞，2]

Answer 1

考点：分段函数的应用,根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：分别求出x≤0和x＞0时函数y=f（x）-ax零点的取值情况，利用数形结合切点和直线y=ax，a的取值范围即可得到．

解答： 解：由y=f（x）-ax=0，得f（x）=ax
∵f（0）=0，
∴x=0是函数y=f（x）-ax的一个零点，
由条件可知只有一个零点，
故当x＜0时，由f（x）=ax，
得-x²+2x=ax，
即-x+2=a，解得x=2-a，
由x=2-a≥0，解得a≤2；
当x＞0时，函数f（x）=ln（x+1），
f'（x）=

1

x+1

∈（0，1），
∵x＞0，
∴要使函数y=f（x）-ax在x＞0时没有零点，
则a≥1或a≤0，
∵a≤2，
∴1≤a＜2或a≤0，
即实数k的取值范围是[1，2]∪（-∞，0]．
故选：C．

点评：本题主要考查函数零点的个数的应用，利用方程和函数之间的关系，将函数零点转化为函数图象相交问题，利用数形结合是解决此类问题的关键，利用切线的临界位置是解决问题的突破点．