Question

2．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．
（3）在DE上是否存在一点P，使直线BP和平面BCE所成的角为30°．

Answer 1

分析 （1）取CE中点M，连结MF，BM，证明四边形ABMF是平行四边形，
（2）由线面垂直的性质得四边形ABMF是矩形，证明BM⊥平面CDE；
（3）假设存在点P，构造线面角，根据线段的关系列方程解出EP．

解答 证明：（1）取CE中点M，连结MF，BM．∴MF是△CDE的中位线，∴MF∥DE，MF=$\frac{1}{2}DE$，
∵DE∥AB，DE=2AB，∴AB∥MF，AB=MF，∴四边形ABMF是平行四边形，
∴AF∥BM，∵AF?平面BCE，BM?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（2）∵AB⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴AB⊥AF，∴四边形ABMF是矩形，∴BM⊥MF．
∵△ACD是正三角形，F是CD中点，∴CD⊥AF．
∵AB∥MF，AB⊥平面ACD，
∴MF⊥平面ACD．∵CD?平面ACD，∴MF⊥CD．
∵AF∩MF=F，AF?平面ABMF，MF?平面ABMF，
∴CD⊥平面ABMF，∵BM?平面ABMF，
∴CD⊥BM，∵MF∩CD=F，MF?平面CDE，CD?平面CDE，
∴BM⊥平面CDE，∵BM?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE．
（3）假设DE上存在一点P，使直线BP和平面BCE所成的角为30°．
连结DM，过P作PN⊥CE，垂足为N，连结BN．则∠PBN=30°．
设AB=1，则DE=AC=CD=AD=2，∴BE=BC=$\sqrt{5}$，CE=2$\sqrt{2}$，DM=CM=$\sqrt{2}$，cos∠BEP=$\frac{DE-AB}{BE}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
设PN=x，则PE=$\sqrt{2}$x，PB=2x，
在△BPE中，由余弦定理得：PB²=BE²+EP²-2BE•EP•cos∠BEP．
∴4x²=5+2x²-2$\sqrt{2}$x，解得x=$\sqrt{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\sqrt{2}$，符合题意．
∴DE上存在一点P，使直线BP和平面BCE所成的角为30°．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定与性质，线面角的定义，使用假设法是解决存在性问题的常用方法．