Question

2．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3≤0}\\{3x+5y-25≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$；
（1）设z=4x-3y，求z的最大值；
（2）设z=$\frac{y}{x}$，求z的最小值；
（3）设z=x²+y²，求z的取值范围．

Answer 1

分析 （1）平移直线y=$\frac{4}{3}$x$-\frac{z}{3}$，利用直线截距和z的关系进行求解．
（2）z=$\frac{y}{x}$的几何意义是区域内的点到原点的斜率，利用斜率关系进行求解．
（3）z=x²+y²的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，利用距离进行求解．

解答 解：（1）由z=4x-3y得y=$\frac{4}{3}$x$-\frac{z}{3}$，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：
平移直线y=$\frac{4}{3}$x$-\frac{z}{3}$，由图象可知当直线y=$\frac{4}{3}$x$-\frac{z}{3}$，过点A时，直线y=$\frac{4}{3}$x$-\frac{z}{3}$截距最小，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3=0}\\{3x+5y-25=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（5，2），
代入目标函数z=4x-3y，
得z=4×5-3×2=20-6=14．
∴目标函数z=4x-3y的最大值是14．
（2）z=$\frac{y}{x}$的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最小，
此时z=$\frac{2}{5}$．
（3）z=x²+y²的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，
由图象知OA的距离最大，此时最大值为z=z=5²+2²=25+4=29，
OC的距离最小，由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-4y+3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（1，1），
此时最小值z=1²+1²=2，
故2≤z≤29．

点评 本题主要考查线性规划的应用，涉及直线的截距，直线的斜率以及两点间的距离，利用数形结合以及目标函数的几何意义是解决本题的关键．