Question

14．已知$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$，$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$），$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{3π}{4}$，且$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=-1．
（1）若$\overrightarrow{OD}$=（cos$\frac{3π}{4}$，sin$\frac{3π}{4}$），且＜$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{π}{4}$，求$\overrightarrow{n}$；
（2）若$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{q}$=（1，0）夹角为$\frac{π}{2}$，△ABC的三内角A，B，C中B=$\frac{π}{3}$，设$\overrightarrow{p}$=（cosA，2cos²$\frac{C}{2}$），求|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{p}$|的范围．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积运算、夹角公式即可得出，
（2）根据向量的模的计算和三角函数的化简和三角函数性质即可求答案．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$，$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$）=（1，1），
∴|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{2}$，
设$\overrightarrow{n}$=（x，y），
∵$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{3π}{4}$，且$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=-1，
∴$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=|$\overrightarrow{m}$|•|$\overrightarrow{n}$|•cos$\frac{3π}{4}$=-1，x+y=-1
∴|$\overrightarrow{n}$|=1，
∴x²+y²=1
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$
∴$\overrightarrow{n}$=（-1，0），或$\overrightarrow{n}$=（0，-1）
∵$\overrightarrow{OD}$=（cos$\frac{3π}{4}$，sin$\frac{3π}{4}$）=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴|$\overrightarrow{OD}$|=1，
∴cos＜$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OD}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$y=cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即-x+y=1，
∵x+y=-1，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（-1，0），
（2）由|$\overrightarrow{n}$|=1，$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{q}$=（1，0）夹角为$\frac{π}{2}$，
∴$\overrightarrow{n}$=（0，-1），
∵$\overrightarrow{p}$=（cosA，2cos²$\frac{C}{2}$）=（cosA，1+cosC），
∴|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{p}$|=（cosA，cosC）
∴|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{p}$|²=cos²A+cos²C=$\frac{1}{2}$（1+cos2A）+$\frac{1}{2}$（1+cos2C）=1-$\frac{1}{2}$cos（$\frac{2π}{3}$-2C），
∵C∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴（$\frac{2π}{3}$-2C）∈（-$\frac{2π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴cos（$\frac{2π}{3}$-2C）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{p}$|²∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$]，
∴|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{p}$|∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$]．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、夹角公式、倍角公式、和差化积、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．