Question

11．已知a，b，c∈R⁺，求证：
（1）a⁵≥a⁴+a-1；
（2）$\frac{2{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{2{b}^{2}}{c+a}$+$\frac{2{c}^{2}}{a+b}$≥a+b+c．

Answer 1

分析 （1）运用作差比较法，结合因式分解，平方非负的概念即可得证；
（2）运用基本不等式，可得$\frac{b+c}{2}$+$\frac{2{a}^{2}}{b+c}$≥2a，$\frac{c+a}{2}$+$\frac{2{b}^{2}}{c+a}$≥2b，$\frac{a+b}{2}$+$\frac{2{c}^{2}}{a+b}$≥2c，累加即可得证．

解答 证明：（1）由a＞0，a⁵-（a⁴+a-1）=（a⁵-a）-（a⁴-1）
=a（a⁴-1）-（a⁴-1）=（a-1）（a⁴-1）
=（a-1）²（a+1）（a²+1）≥0，
可得a⁵≥a⁴+a-1，（当a=1时取得等号）；
（2）由a，b，c＞0，$\frac{b+c}{2}$+$\frac{2{a}^{2}}{b+c}$≥2$\sqrt{\frac{b+c}{2}•\frac{2{a}^{2}}{b+c}}$=2a，
同理可得$\frac{c+a}{2}$+$\frac{2{b}^{2}}{c+a}$≥2b，
$\frac{a+b}{2}$+$\frac{2{c}^{2}}{a+b}$≥2c，
上面三式相加，可得（a+b+c）+（$\frac{2{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{2{b}^{2}}{c+a}$+$\frac{2{c}^{2}}{a+b}$）≥2a+2b+2c，
即为$\frac{2{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{2{b}^{2}}{c+a}$+$\frac{2{c}^{2}}{a+b}$≥a+b+c，（当a=b=c时，等号成立）．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用作差比较法和基本不等式，考查累加法以及推理能力，属于中档题．