Question

17．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线C₂：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有公共的焦点，C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C₁恰好将线段AB三等分，则椭圆C₁的短轴长为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由双曲线C₂：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得焦点$（±\sqrt{5}，0）$，渐近线方程为y=±2．可得：a²-b²=5．设渐近线y=2x与椭圆C₁相交于点M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁）．渐近线与椭圆方程联立可得：${x}_{1}^{2}$，${y}_{1}^{2}$．|MN|²=4（${x}_{1}^{2}$+${y}_{1}^{2}$）．|AB|²=（2a）²=4（b²+5），利用|AB|=3|MN|，即可得出．

解答 解：由双曲线C₂：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得焦点$（±\sqrt{5}，0）$，渐近线方程为y=±2．
∴a²-b²=5．
设渐近线y=2x与椭圆C₁相交于点M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+5}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{y=2x}\end{array}\right.$，可得${x}_{1}^{2}$=$\frac{{b}^{4}+5{b}^{2}}{5{b}^{2}+20}$，${y}_{1}^{2}$=$\frac{4{b}^{4}+20{b}^{2}}{5{b}^{2}+20}$．
∴|MN|²=4（${x}_{1}^{2}$+${y}_{1}^{2}$）=4（$\frac{{b}^{4}+5{b}^{2}}{5{b}^{2}+20}$+$\frac{4{b}^{4}+20{b}^{2}}{5{b}^{2}+20}$）=$\frac{4{b}^{4}+20{b}^{2}}{{b}^{2}+4}$．
|AB|²=（2a）²=4a²=4（b²+5），
∴4（b²+5）=9×$\frac{4{b}^{4}+20{b}^{2}}{{b}^{2}+4}$．
化为：2b²=1．
∴$b=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴2b=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、两点之间的距离公式、圆的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．