Question

6．已知函数f（x）是在定义（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y）且f（2）=1．试回答下列问题：
（1）证明：f（8）=3；
（2）求不等式f（x）-f（x+2）＞3的解集．

Answer 1

分析 （1）由已知利用赋值法及已知f（2）=1可求证明f（8）．
（2）原不等式可化为f（x）＞f（8x-16），结合f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数可求不等式的解集．

解答 证明：（1）由题意f（xy）=f（x）+f（y）且f（2）=1．
可得f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=f（2×2）+f（2）=3f（2）=3．
解：（2）函数f（x）是在定义（0，+∞）上的增函数，
原不等式可化为f（x）＞f（x-2）+3=f（x-2）+f（8）=f（8x-16），
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{8x-16＞0}\\{x＞8x-16}\end{array}\right.$，
解得：2＜x＜$\frac{16}{7}$．

点评 本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值及利用函数的单调性求解不等式，解题的关键是熟练应用函数的性质．