Question

14．（1）解不等式|$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$+2|≥$\frac{3}{2}$
（2）不等式0≤ax+5≤4的整数解是1、2、3、4，则a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的定义和对数函数的性质，化简解答不等式即可；
（2）原不等式化为-5≤ax≤-1，根据不等式的整数解得出a＜0且$\left\{\begin{array}{l}{0＜-\frac{1}{a}≤1}\\{4≤-\frac{5}{a}＜5}\end{array}\right.$，由此求出a的取值范围．

解答 解：（1）不等式|$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$+2|≥$\frac{3}{2}$可化为
$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$+2≤-$\frac{3}{2}$或$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$+2≥$\frac{3}{2}$，
即$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$≤-$\frac{7}{2}$或$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$≥-$\frac{1}{2}$，
解得0＜x＜1或1＜x≤2或x≥4；
∴该不等式的解集为（0，1）∪（1，2]∪[4，+∞）；
（2）不等式0≤ax+5≤4可化为-5≤ax≤-1，
∵不等式的整数解是1、2、3、4，
∴a＜0，
∴-$\frac{1}{a}$≤x≤-$\frac{5}{a}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜-\frac{1}{a}≤1}\\{4≤-\frac{5}{a}＜5}\end{array}\right.$，
解得a的取值范围是[-$\frac{5}{4}$，-1]．

点评 本题考查了绝对值与对数函数的应用问题，也考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，是综合性题目．