Question

19．已知命题p：方程a²x²+ax-2=0在区间[0，1]上有解，命题q：对于?x∈R，不等式sinx+cosx＞a恒成立．若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出命题p，q为真时，实数a的取值范围．结合命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得答案．

解答 （本题满分10分）
解：方程a²x²+ax-2=0的两根为$-\frac{2}{a}，\frac{1}{a}$，…（2分）
由题意知$0≤-\frac{2}{a}≤1或0≤\frac{1}{a}≤1$，解得a≤-2或a≥1，
即命题p为真命题时a的取值集合为A=（-∞，-2]∪[1，+∞）．…（4分）
∵sinx+cosx＞a恒成立，所以$a＜{（{sinx+cosx}）_{min}}=-\sqrt{2}$
即命题q为真命题时a的取值集合为$B=（{-∞，-\sqrt{2}}）$．…（7分）
又∵命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以a的取值范围为
（（∁_R A）∩B）∪（（∁_R B）∩A）=（-2，-$\sqrt{2}$）∪[1，+∞）．…（10分）

点评 本题考查的知识点是复合命题，方程根的个数及判断，函数恒成立问题，难度中档．