Question

9．设$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{3}}$为单位向量，且$\overrightarrow{{e}_{3}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，（k＞0），若以向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$为两边的三角形的面积为$\frac{1}{2}$，则k的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角，计算$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$，对$\overrightarrow{{e}_{3}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，两边平方，列出方程解出k．

解答 解：设$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$夹角为θ，则$\frac{1}{2}$sinθ=$\frac{1}{2}$，∴sinθ=1，θ=$\frac{π}{2}$．∴$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=0．
∵$\overrightarrow{{e}_{3}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，∴$\overrightarrow{{e}_{3}}$²=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$²+k²$\overrightarrow{{e}_{2}}$²+k$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=1，∴$\frac{1}{4}+{k}^{2}$=1，又k＞0，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的基本定理及其意义，求出$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角是解题关键．