题目内容
14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin$\frac{x}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$，1），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若f（B+C）=1，a=$\sqrt{3}$，b=1，求△ABC的面积S．
分析 （1）利用数量积公式，结合辅助角公式，即可求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）先求出B，可得C，再利用三角形的面积公式，可得结论．
解答 解：（1）由题意得$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$\sqrt{3}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}$-$si{n}^{2}\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=sin（x+$\frac{π}{6}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
解得2kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{3}$
所以函数f（x）的单调增区间为[2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）．
（2）因为f（B+C）=1，所以sin（B+C+$\frac{π}{6}$）=1，
又B+C∈（0，π），B+C+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
所以B+C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，B+C=$\frac{π}{3}$，所以A=$\frac{2π}{3}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$代入，得到sinB=$\frac{1}{2}$
得B=$\frac{π}{6}$或者B=$\frac{5π}{6}$，因为A=$\frac{2π}{3}$为钝角，所以B=$\frac{5π}{6}$舍去
所以B=$\frac{π}{6}$，得C=$\frac{π}{6}$．
所以，△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}•\sqrt{3}•1•\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
点评 本题考查正弦函数的单调性，考查两角和与差的三角函数间的关系，考查正弦定理，属于中档题．
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