Question

10．已知数列{a_n}的前n项和S_n，若a_n+1+（-1）ⁿa_n=n，则S₄₀=420．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得a_2k-1+a_2k+a_2k+1+a_2k+2=4k+2．取k=1，3，5，…，19，作和得答案．

解答 解：由a_n+1+（-1）ⁿa_n=n，
∴当n=2k时，有a_2k+1+a_2k=2k，①
当n=2k-1时，有a_2k-a_2k-1=2k-1，②
当n=2k+1时，有a_2k+2-a_2k+1=2k+1，③
①-②得：a_2k+1+a_2k-1=1，
①+③得：a_2k+2+a_2k=4k+1，
∴a_2k-1+a_2k+a_2k+1+a_2k+2=4k+2．
∴S₄₀=4（1+3+…+19）+20=$4×\frac{（1+19）×10}{2}$+20=420．
故答案为：420．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列前n项和的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．