Question

6．设f（x）是定义在R上的偶函数，F（x）=（x+2）³f（x+2）-17，G（x）=-$\frac{17x+33}{x+2}$，若F（x）的图象与G（x）的图象的交点分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），…（x_m，y_m），则$\sum_{i=1}^{m}$（x_i+y_i）=-19m．

Answer 1

分析 判断F（x）与G（x）的对称性，找出对称中心，利用交点的对称性得出结论．

解答 解：∵f（x）是偶函数，
∴g（x）=x³f（x）是奇函数，
∴g（x）的图象关于原点（0，0）对称，
∴F（x）=（x+2）³f（x+2）-17=g（x+2）-17关于点（-2，-17）对称，
又G（x）=-$\frac{17x+33}{x+2}$关于点（-2，-17）对称，
∴$\sum_{i=1}^{m}{x}_{i}$=$\frac{m}{2}×（-4）$=-2m，
$\sum_{i=1}^{m}{y}_{i}$=$\frac{m}{2}×（-34）$=-17m，
∴$\sum_{i=1}^{m}$（x_i+y_i）=$\sum_{i=1}^{m}{x}_{i}$+$\sum_{i=1}^{m}{y}_{i}$=-19m．
故答案为：-19m．

点评 本题考查了函数的奇偶性判断，函数零点与函数对称性的关系，属于中档题．