Question

1．已知函数f（x）=|x+2|+|x+a|（a∈R）．
（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的最小值，并写出此时x的取值集合；
（Ⅱ）若f（x）≥3恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）写出分段函数，画图得答案；
（Ⅱ）由绝对值的几何意义，把f（x）≥3恒成立转化为关于a的含有绝对值的不等式求解．

解答 解：（Ⅰ）若a=5，f（x）=|x+2|+|x+5|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-7，x＜-5}\\{3，-5≤x≤-2}\\{2x+7，x＞-2}\end{array}\right.$．
其图象如图：

∴f（x）的最小值为3，使f（x）取得最小值的x的集合为{x|-5≤x≤-2}；
（Ⅱ）f（x）=|x+2|+|x+a|=|x-（-2）|+|x-（-a）|，
由绝对值的几何意义可知，f（x）为数轴上动点x与两个定点-2、-a的距离的和，
如图：

当动点x与-2重合时，|x-（-2）|最小为0，要使f（x）≥3恒成立，
则|-2-（-a）|≥3，即|a-2|≥3，得a-2≤-3或a-2≥3，
∴a≤-1或a≥5．

点评 本题考查带有绝对值的函数的应用，考查恒成立问题的求解方法，考查分段函数的应用，考查绝对值的几何意义，体现了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．