Question

已知函数f（x）=

a

•

b

+

1

2

，其中

a

=（

3

sinx-cosx，-1），

b

=（cosx，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由平面向量的数量积的坐标公式及二倍角公式和两角差的正弦公式，化简函数式，即可得到最大值和周期；
（Ⅱ）运用正弦定理和余弦定理，列出方程，即可求出三角形的面积．

解答： 解：（ I）f（x）=

a

•

b

+

1

2

=（

3

sinx-cosx，-1）•（cosx，1）+

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

-

1

2

cos2x-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-1．
由于x∈R，则sin（2x-

π

6

）取得最大值1，周期T=

2π

2

=π，
则f（x）的最大值为0；最小正周期为π；
（Ⅱ）f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，即sin（2C-

π

6

）=1，
-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，解得C=

π

3

，
又∵sin（A+C）=sinB=2sinA，由正弦定理得，

a

b

=

1

2

---------------①，
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos

π

3

，即a²+b²-ab=9-------------②
由①②解得：a=

3

，b=2

3

．
则△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×

3

×2

3

×

3

2

=

3 3

2

．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查三角函数的最值和周期，考查正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．