Question

13．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+4．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求直线y=2x+4与y=f（x）所围成的图形的面积．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=ax²+bx+c，根据f′（x）=2x+2求出a、b的值，再由方程f（x）=0有两个相等的实根，△=0，求得c的值，即可得到函数的解析式．
（2）先由解方程组求出积分区间，再通过求定积分求出即可．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，则f′（x）=2ax+b，又因为 f′（x）=2x+4，
∴a=1，b=4，
∴f（x）=x²+4x+c．
由于方程f（x）=0有两个相等的实根，
∴△=16-4c=0，解得 c=4，∴f（x）=x²+4x+4．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+4x+4}\\{y=2x+4}\end{array}\right.$，解得x=-2或x=0，
即直线y=2x+4与y=f（x）所围成的图形的面积S=${∫}_{-2}^{0}$[2x+4-（x²+4x+4）]dx
=${∫}_{-2}^{0}$（-x²-2x）dx=（-$\frac{1}{3}{x}^{3}$-x²）|${\;}_{-2}^{0}$=-（-$\frac{8}{3}$-4）=$\frac{20}{3}$

点评 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，导数的运算，定积分的应用，属于中档题．