Question

学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分．现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：
（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）若满意度不低于98分，则评价该教师为“优秀”．求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；
（Ⅲ）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,众数、中位数、平均数,互斥事件的概率加法公式

专题：应用题,概率与统计

分析：（Ⅰ）根据所给的茎叶图以及众数和中位数的概念，得出众数与中位数；
（Ⅱ）设A_i表示所取3人中有i个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件A，则P（A）=P（A₀）+P（A₁），可得答案．
（Ⅲ）ξ可以取0，1，2，3，利用独立事件概率公式，可求出ξ的分布列，代入数学期望公式，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）根据茎叶图知，这组数据的众数：87；中位数：88.5                     …（2分）
（Ⅱ）设A_i表示所取3人中有i个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件A，则P（A）=P（A₀）+P（A₁）=

C 3 7

C 3 10

+

C 1 3 C 2 7

C 3 10

=

49

60

  …（6分）
（Ⅲ）ξ的可能取值为0、1、2、3                                 …（7分）      
P（ξ=0）=(

7

10

)3=

342

1000

；P（ξ=1）=

C

1 3

•

3

10

•(

7

10

)2=

441

1000

P（ξ=2）=

C

2 3

•(

3

10

)2•

7

10

=

189

1000

；P（ξ=3）=(

3

10

)3=

27

1000

分布列为

ξ	0	1	2	3
P	342 1000	441 1000	189 1000	27 1000

…（11分）
Eξ=0×

342

1000

+1×

441

1000

+2×

189

1000

+3×

27

1000

=0.9．…（12分）

点评：本题考查的知识点是离散型随机变量的期望，茎叶图，古典概型，是概率与统计的综合应用，难度中档．