Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bcosA=ccosA+acosC．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=

2

a，△ABC的面积S=

3

12

，求a的长．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（1）利用正弦定理化边为角，化简可得cosA=

1

2

，进而可求答案；
（2）由三角形面积公式可求bc=

1

3

，由余弦定理及b+c=

2

a可得a的方程，解出即可；

解答： 解：（1）由正弦定理可得：2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC，即2sinBcosA=sin（A+C）；
∵B=π-（A+C），∴sinB=sin（A+C）且不为0，
∴cosA=

1

2

，
∵A∈（0，π），∴A=

π

3

；
（2）∵S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3

12

，∴bc=

1

3

，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，
又∵b+c=

2

a，a＞0，
∴a²=2a²-1，解得：a=1．

点评：该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查学生的运算求解能力．