Question

7．如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=$\sqrt{2}$，AB=AC．
（1）求证：BE⊥面ABC；
（2）设△ABC为等边三角形，求直线CE与平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用底面是矩形得到BE⊥BC，结合侧面ABC⊥底面BCDE得到所证；
（2）利用（1）的结论，取AB的中点H，连接EH利用△ABC为等边三角形得到∠CEH是直线CE与平面ABE所成角．

解答 （1）证明：∵底面BCDE为矩形，∴BE⊥BC．∵侧面ABC⊥底面BCDE，且交线为BC，BE?平面ABCD．∴BE⊥面ABC．
（2）解：由（1）可知BE⊥面ABC．∵BE?平面ABE．∴平面ABE⊥底面ABC，且交线为AB．
取AB的中点H，连接EH．∵△ABC为等边三角形，
∴CH⊥AB，CH⊥平面ABE．∴∠CEH是直线CE与平面ABE所成角．
在矩形BCDE中，$CE=\sqrt{6}$． 在正△ABC中，$CH=\sqrt{3}$．
∴$sin∠CEH=\frac{CH}{CE}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．．

点评 本题考查了空间面面垂直和线面垂直的判定定理和性质定理的运用以及求线面角；关键是利用定理将线面角转化为线线角．