Question

16．已知函数f（x）=sinx•cos（x-$\frac{π}{6}$）+cos²x-$\frac{1}{2}$．
（1）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值x时的取值集合；
（2）若f（x₀）=$\frac{11}{20}$，x₀∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的正弦、余弦公式可化简f（x）=sinx•cos（x-$\frac{π}{6}$）+cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，再利用正弦函数的性质即可求得函数f（x）的最大值及f（x）取最大值x时的取值集合；
（2）x₀∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]⇒2x₀+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$]，故可求得cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，利用两角差的余弦cos2x₀=cos[（2x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]即可求得cos2x₀的值．

解答 解：（1）f（x）=sinx•cos（x-$\frac{π}{6}$）+cos²x-$\frac{1}{2}$
=sinx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$sinx）+$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{4}$+$\frac{1}{2}$cos2x
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，
当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），即x=kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z）时，f（x）取得最大值$\frac{3}{4}$．
函数f（x）的最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z）}；
（2）若f（x₀）=$\frac{11}{20}$，即$\frac{1}{2}$sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$=$\frac{11}{20}$，
整理得：sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
∵x₀∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
∴2x₀+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，
∴cos2x₀=cos[（2x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）si'n$\frac{π}{6}$=-$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，突出考查正弦函数的图象与性质及两角差的余弦，考查整体思想与化归意识，属于中档题．