Question

14．下列命题中是假命题的是（　　）

• A． $?x∈R，{x^2}-x+\frac{1}{4}≥0$
• B． ?x₀∈R，sinx₀≥1
• C． ?x₀∈R，sinx₀+cosx₀=2
• D． $?x∈（0，\frac{π}{2}），x＞sinx$

Answer 1

分析 A．?x∈R，x²-x+$\frac{1}{4}$=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$≥0，即可判断出真假．
B．?x₀=$\frac{π}{2}$，sinx₀≥1，即可判断出真假．
C．sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+φ）≤$\sqrt{2}$，即可判断出真假．
D．令f（x）=x-sinx，x∈$（0，\frac{π}{2}）$，可得f′（x）=1-cosx＞0，利用单调性即可判断出真假．

解答 解：A．?x∈R，x²-x+$\frac{1}{4}$=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$≥0，是真命题．
B．?x₀=$\frac{π}{2}$，sinx₀≥1，是真命题．
C．∵sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+φ）≤$\sqrt{2}$，因此是假命题．
D．令f（x）=x-sinx，x∈$（0，\frac{π}{2}）$，则f′（x）=1-cosx＞0，∴函数f（x）在x∈$（0，\frac{π}{2}）$单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，
即x＞sinx，因此是真命题．
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．