Question

4．（1）已知$g（x）=\sqrt{x}$，求曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程；
（2）已知函数f（x）=x³-3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．
（3）求函数f（x）=x²-x-lnx的极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到切线的斜率，然后求解切线方程．
（2）设出切点坐标，求出函数的导数，利用向量相等列出方程求解即可．
（3）通过函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的极值点，然后求解极值即可．

解答 解：（1）∵g（x）=$\sqrt{x}$，
∴g′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
∴g′（4）=$\frac{1}{4}$，
∴曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程为y-2=$\frac{1}{4}$（x-4），即y=$\frac{1}{4}$x+1；
（2）曲线方程为y=x³-3x，点A（0，16）不在曲线上，
设切点为M（x₀，y₀），则点M的坐标满足y₀=x₀³-3x₀，
因f′（x₀）=3（x₀²-1），故切线的方程为y-y₀=3（x₀²-1）（x-x₀）．
化简得x₀³=-8，解得x₀=-2．
所以切点为M（-2，-2），切线方程为9x-y+16=0．
（3）∵f（x）=x²-x-lnx，x＞0，
令f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$=0得x=1或x=-$\frac{1}{2}$（舍去）．
又因为，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；x＞1时，f'（x）＞0．
所以x=1时，函数f（x）有极小值f（1）=0

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法以及函数的极值的求法，考查计算能力．