Question

2．在△ABC中，∠C=90°，点M在边BC上，且满足BC=$\frac{3}{2}$CM，若tan∠BAM=$\frac{{\sqrt{6}}}{12}$，则sin∠MAC=$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

Answer 1

分析 设BM=x，AC=h，利用两角和差的正切公式计算tan∠BAM，整理解得：h=$\sqrt{6}$x，即可计算解得sin∠MAC的值．

解答 解：∵BC=$\frac{3}{2}$CM=（BM+MC），
∴2BM=CM，
设∠BAM=α，∠CAM=β，BC=3BM=3x，AC=h．
∵tan∠BAM=$\frac{{\sqrt{6}}}{12}$，
又∵tanβ=$\frac{2x}{h}$，tan（α+β）=$\frac{3x}{h}$，
∴tanα=$\frac{\frac{3x}{h}-\frac{2x}{h}}{1+\frac{6{x}^{2}}{{h}^{2}}}$=$\frac{hx}{{h}^{2}+6{x}^{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{12}$，整理解得：h=$\sqrt{6}$x，
∴sin∠MAC=$\frac{2x}{\sqrt{4{x}^{2}+{h}^{2}}}$=$\frac{2x}{\sqrt{4{x}^{2}+6{x}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

点评 本题考查了三角形中的几何运算，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．