Question

9．在△ABC中，sinB+sin（A-B）=sinC是sinA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的（　　）

• A． 充分非必要条件
• B． 必要非充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也非必要条件

Answer 1

分析 先根据两角和差的正弦公式得到A=$\frac{π}{3}$，即sinA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，充分性成立，当sinA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得到A=$\frac{π}{3}$或A=$\frac{2π}{3}$，必要性不成立，问题得以解决

解答 解：∵sinB+sin（A-B）=sinC=sin（A+B），
∴sinB+sinAcosB-cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinB=2cosAsinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∴sinA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
当sinA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$或A=$\frac{2π}{3}$，
故在△ABC中，sinB+sin（A-B）=sinC是sinA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的充分非必要条件，
故选：A

点评 本题以三角形为载体，考查命题充要条件的意义和判断方法，解题的关键是正确运用两角和差的正弦公式及三角形性质，属基础题，