Question

1．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₅=1，S₅=25．
（1）求 a_n，S_n；
（2）b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）等差数列{a_n}，a₅=1，S₅=25，用a₁和a₅分别表示S₅，解此方程组即可求得a₁和d，从而求出a_n，S_n；
（2）当n≤5时，b_n=|a_n|=a_n=11-2n，当n＞5时，b_n=|a_n|=-a_n=2n-11；从而分类讨论求前n项和．

解答 解：（1）设等差数列的公差为d，
则由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=1}\\{\frac{1+{a}_{1}}{2}×5=25}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=9}\\{d=-2}\end{array}\right.$，
所以a_n=9+（n-1）（-2）=11-2n，S_n=9n+$\frac{n（n-1）}{2}$×（-2）=10n-n²；
（2）解：当n≤5时，b_n=|a_n|=a_n=11-2n＞0，
则b_n=|a_n|=a_n=11-2n，
则T_n=$\frac{9+11-2n}{2}$n=（10-n）n；
当n＞5时，b_n=a_n=11-2n＜0，
则b_n=|a_n|=a_n=2n-11，
则T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|+|a₆|+|a₇|+…+|a_n|
=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅-a₆-a₇-…-a_n；
=2（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅）-（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+…+a_n）
=50-（10-n）n
=n²-10n+50．
故T_n=$\left\{\begin{array}{l}{（10-n）n，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n＞5}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列的求和，绝对值数列的化简运算的应用及分类讨论的思想应用．