Question

9．已知函数f（x）=2ax³+3，g（x）=3x²+2，若关于x的方程f（x）=g（x）有唯一解x₀，且x₀∈（0，+∞），则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （-l，0）
• C． （0，1）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 根据2ax³-3x²+1=0（*），通过讨论a的范围，结合函数的单调性，求出a的范围即可．

解答 解：结合题意，2ax³+3=3x²+2，
故2ax³-3x²+1=0（*），
若a=0，则（*）可化为：-3x²+1=0，
该方程有2解，不合题意，舍去；
若a＞0，令h（x）=2ax³-3x²+1，
故h′（x）=6ax（x-$\frac{1}{a}$），
得函数h（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递减，在（-∞，0），（$\frac{1}{a}$，+∞）递增，
可知极大值是h（0）=1，
而h（x）还存在1个小于0的零点，不合题意，舍去，
若a＜0，可知函数h（x）在（$\frac{1}{a}$，0）递增，在（-∞，$\frac{1}{a}$），（0，+∞）递减，
若要零点唯一，
则h（$\frac{1}{a}$）＞0，即2a${（\frac{1}{a}）}^{3}$-3${（\frac{1}{a}）}^{3}$+1＞0，
∵a＜0，解得：a＜-1，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、零点问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．