Question

14．已知数列{a_n}满足前n项和S_n=n²+1，数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，且前n项和为T_n，设c_n=T_2n+1-T_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）判断数列{c_n}的增减性．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足前n项和S_n=n²+1，可得a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．可得a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{2n-1，n≥2}\end{array}\right.$．进而得到b_n．
（2）由c_n=T_2n+1-T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n+1，作差c_n+1-c_n，即可得出{c_n}的单调性．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足前n项和S_n=n²+1，
∴a₁=S₁=2，a₁=2，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1（n≥2）．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{2n-1，n≥2}\end{array}\right.$．
n=1时，b₁=$\frac{1}{3}$；
n≥2时，b_n=$\frac{1}{2n-1+1}$=$\frac{1}{2n}$．
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}，n=1}\\{\frac{1}{2n}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）∵c_n=T_2n+1-T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n+1
=$\frac{1}{2（n+1）}$+$\frac{1}{2（n+2）}$+…+$\frac{1}{2（2n+1）}$，
∴c_n+1-c_n=$\frac{1}{4n+6}$-$\frac{1}{2n+2}$＜0，
∴{c_n}是递减数列．

点评 本题考查了数列的单调性、通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．