Question

己知函数f（x）=x，g（x）=ln（1+x）
（1）证明：当x＞0时，恒有f（x）＞g（x）；
（2）当x＞0时，不等式g（x）＞

kx

k+x

（k≥0）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,作图题,导数的综合应用

分析：（1）令F（x）=f（x）-g（x）=x-ln（1+x）；从而求导再判断单调性，从而证明；
（2）不等式g（x）＞

kx

k+x

可化为xln（1+x）＞k（x-ln（1+x））；从而得k＜

xln(1+x)

x-ln(1+x)

；令F（x）=

xln(1+x)

x-ln(1+x)

，再作图象，从而利用图象解答．

解答： 解：（1）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=x-ln（1+x）；
故F′（x）=1-

1

x+1

；
∵x＞0，∴F′（x）＞0；
故F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上是增函数，
故F（x）＞F（0）=0，
故f（x）-g（x）＞0，
即f（x）＞g（x）；
（2）不等式g（x）＞

kx

k+x

可化为
xln（1+x）＞k（x-ln（1+x））；
即k＜

xln(1+x)

x-ln(1+x)

；
令F（x）=

xln(1+x)

x-ln(1+x)

，
作函数F（x）=

xln(1+x)

x-ln(1+x)

的图象如下，
故k≤2，
故0≤k≤2．

点评：本题考查了导数的综合应用及数形结合的数学思想应用，同时考查了恒成立问题，属于难题．