Question

如果三棱锥的每条侧棱和底面的边长都是a，那么这个三棱锥的外接球的体积是（　　）

• A、

  6

  8

  πa³
• B、

  2 6

  27

  πa³
• C、

  8 6

  9

  πa³
• D、

  6

  6

  πa³

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：由正三棱锥S-ABC的所有棱长均为a，所以此三棱锥一定可以放在棱长为

2

2

a的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的半径，再代入体积公式计算

解答： 解：∵正三棱锥S-ABC的所有棱长均为a，
∴此三棱锥一定可以放在棱长为

2

2

a的正方体中，
∴此四面体的外接球即为此正方体的外接球，
∵外接球的直径为正方体的对角线长，
∴外接球的半径为R=

1

2

×

1 2 + 1 2 + 1 2

a=

6

4

a，
∴球的体积为V=

4

3

π(

6

4

)3=

6

8

a3π；
故选A．

点评：本题考查几何体的外接球问题，考查了空间想象能力，其解答的关键是根据几何体的结构特征，求出接体几何元素的数据，代入体积公式分别求解．