题目内容
在三棱锥P-ABC中，∠APC=∠CPB=∠BPA=
，并且PA=PB=3，PC=4，又M是底面ABC内一点，则M到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是 ．
| π |
| 2 |
考点：点、线、面间的距离计算
专题：空间位置关系与距离
分析：以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出M到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值．
解答：
解：以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4），
∴平面ABC为：
x+
y+
z=1，
∴1=（
x+
y+
z）2≤[（
）2+（
）2+（
）2]（x2+y2+z2），
解得x2+y2+z2≥
．
又M是底面ABC内一点，
∴M到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是
．
故答案为：
．
建立空间直角坐标系，
由已知得A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4），
∴平面ABC为：
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
∴1=（
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
解得x2+y2+z2≥
| 144 |
| 41 |
又M是底面ABC内一点，
∴M到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是
| 144 |
| 41 |
故答案为：
| 144 |
| 41 |
点评：本题考查点到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．
练习册系列答案
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如图，在△ABC中，己知AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AH⊥BC于H，M为AH的中点，若