题目内容

在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上取一点，P与长轴两端点A、B的连线分别交短轴所在直线于M，N两点，设O为原点，求证：|OM|•|ON|为定值．
考点：椭圆的简单性质
专题：证明题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设点P（x，y），A（-a，0），B（a，0），M（0，m），N（0，n），由三点共线则斜率相等，得到方程，再由P在椭圆上得到方程，化简整理，即可得到定值．
解答： 证明：设点P（x，y），A（-a，0），B（a，0），M（0，m），N（0，n），
则
x2
a2
+
y2
b2
=1，即有y2=b2•
a2-x2
a2

则由P，A，M三点共线，可得，
y
x+a
=
m
a
，
由P，N，B共线，可得，
y
x-a
=
n
-a
，
上两式相乘可得，
y2
x2-a2
=
mn
-a2
，
即有-
b2
a2
=
mn
-a2
，则mn=b2，
故|OM|•|ON|为定值b2．
点评：本题考查椭圆方程和运用，考查直线的斜率公式，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图，在△ABC中，己知AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AH⊥BC于H，M为AH的中点，若
AM
=λ
AB
+μ
BC
，则λ+μ=（　　）
A、
1
2
B、
2
3
C、
3
4
D、1
解不等式组：
2sinx-
2
＞0
2cosx≤1
．
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右顶点为A（a，0），离心率为
5
3
，过点A的直线交椭圆于另一点B，若AB的中点坐标为（1，-
2
2
3
），则E的方程为（　　）
A、
x2
18
+
y2
10
=1
B、
x2
18
+
y2
8
=1
C、
x2
9
+
y2
5
=1
D、
x2
9
+
y2
4
=1
己知函数f（x）=x，g（x）=ln（1+x）
（1）证明：当x＞0时，恒有f（x）＞g（x）；
（2）当x＞0时，不等式g（x）＞
kx
k+x
（k≥0）恒成立，求实数k的取值范围．
函数f（x）=
1
xlnx
的单调减区间是（　　）
A、（0，
1
e
）
B、（
1
e
，+∞）
C、（
1
e
，1）∪（1，+∞）
D、（ 
1
e
，1），（1，+∞）
设函数f（x）=ax-ln（x+1）a+1（x＞-1，a∈R）．
（1）设a＞0，x＞0，求证：f（x）＞-x；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求证：
ln2
22
+
ln3
32
+…+
lnn
n2
＜
n
2
-
5
8
（n为正整数）．
2013年某时刻，在钓鱼岛附近的海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（
3
-1）海里的B处有一艘日本走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的中国巡逻舰，奉命以10
3
海里/时的速度追截日本走私船，此时日本走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：中国巡逻舰沿什么方向行驶才能最快截获日本走私船？并求出所需时间．（改编题）
函数f(x)=
ax+bx≤0
logc(x+
1
9
)x＞0
的部分图象如图所示
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）探讨关于x的方程f2（x）+b|f（x）|-1=0（b∈R）根的个数．

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