Question

15．已知函数f（x）=a+$\sqrt{x}$lnx在（0，+∞）上有且仅有1个零点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，0]
• B． （-∞，0]∪{$\frac{2}{e}$}
• C． （-∞，$\frac{2}{e}$）
• D． （-∞，$\frac{2}{e}$）

Answer 1

分析 问题转化为y=-a和g（x）=$\sqrt{x}$lnx在（0，+∞）只有1个交点，根据函数的单调性判断即可．

解答 解：函数f（x）=a+$\sqrt{x}$lnx在（0，+∞）上有且仅有1个零点，
即y=-a和g（x）=$\sqrt{x}$lnx在（0，+∞）只有1个交点，
g′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$lnx+$\frac{1}{\sqrt{x}}$=$\frac{1}{\sqrt{x}}$（$\frac{1}{2}$lnx+1），
令g′（x）＞0，解得：x＞e^-2，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜e^-2，
故g（x）在（0，e^-2）递减，在（e^-2，+∞）递增，
故g（x）_min=g（e^-2）=-$\frac{2}{e}$，
在（0，e^-2）时，g（x）＜0，在x≥1时，g（x）≥0，
故-a=-$\frac{2}{e}$即a=$\frac{2}{e}$时，1个交点，-a≥0即a≤0时，1个交点，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道中档题．