Question

10．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，x＞0\\-1，x＜0\end{array}\right.$，则不等式x+（x+2）f（x+2）≤5的解集是（-∞，-2）∪（2，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 当x+2＞0时，f（x+2）=1；x+2＜0时，f（x+2）=-1，对x进行分类讨论后代入原不等式即可求出不等式的解集．

解答 解：∵不等式x+（x+2）f（x+2）≤5，
∴x+2+（x+2）f（x+2）≤7，
当x+2＞0时，f（x+2）=1，代入原不等式得：x+2+x+2≤7⇒-2＜x≤$\frac{3}{2}$；
当x+2＜0时，f（x+2）=-1，代入原不等式得：x+2-x-2≤7⇒0≤7，即x＜-2；
综上，原不等式的解集为（-∞，-2）∪（2，$\frac{3}{2}$]．
故答案为：（-∞，-2）∪（2，$\frac{3}{2}$]．

点评 此题考查了分段函数、不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道基础题．