奥运会乒乓球比赛共设男子单打.女子单打.男子团体.女子团体共四枚金牌.保守估计中国乒乓球男队单打或团体获得一枚金牌的概率均为$\frac{3}{4}$.中国乒乓球女队单打或团体获得一枚金牌的概率均为$\frac{4}{5}$．(1)求按此估计中国乒乓球女队比中国乒乓球男队多获得一枚金牌的概率,(2)记中国乒乓球队获得的金牌数为ξ.按此估计ξ的分布列和数学期望Eξ� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．奥运会乒乓球比赛共设男子单打、女子单打、男子团体、女子团体共四枚金牌，保守估计中国乒乓球男队单打或团体获得一枚金牌的概率均为$\frac{3}{4}$，中国乒乓球女队单打或团体获得一枚金牌的概率均为$\frac{4}{5}$．
（1）求按此估计中国乒乓球女队比中国乒乓球男队多获得一枚金牌的概率；
（2）记中国乒乓球队获得的金牌数为ξ，按此估计ξ的分布列和数学期望Eξ．

分析（1）设中国乒乓球男队获0枚金牌，女队获1枚金牌为事件A，中国乒乓球男队获1枚金牌，女队获2枚金牌为事件B，按此估计中国乒乓球女队比中国乒乓球男队多获得一枚金牌的概率P（A+B）=P（A）+P（B），由此能求出结果．
（2）根据题意中国乒乓球队获得金牌数是一随机变量ξ，它的所有可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的概率分布列和所获金牌的数学期望．

解答解：（1）设中国乒乓球男队获0枚金牌，女队获1枚金牌为事件A，
中国乒乓球男队获1枚金牌，女队获2枚金牌为事件B，
则P（A+B）=P（A）+P（B）
=$C_2^1{（{1-\frac{3}{4}}）^2}•（{\frac{4}{5}}）•（{1-\frac{4}{5}}）$$+C_2^1（{\frac{3}{4}}）•（{1-\frac{3}{4}}）{（{\frac{4}{5}}）^2}=\frac{13}{50}$．
（2）根据题意中国乒乓球队获得金牌数是一随机变量ξ，
它的所有可能取值为0，1，2，3，4（单位：枚），
那么$P（{ξ=0}）=C_2^1{（{1-\frac{3}{4}}）^2}$${（{1-\frac{4}{5}}）^2}=\frac{1}{400}$，
$P（{ξ=1}）=C_2^1（{1-\frac{3}{4}}）•$$（{\frac{3}{4}}）•{（{1-\frac{4}{5}}）^2}+C_2^1（{\frac{4}{5}}）•$${（{1-\frac{3}{4}}）^2}（{1-\frac{4}{5}}）=\frac{7}{200}$，
$P（{ξ=2}）=C_2^1C_2^1（{1-\frac{3}{4}}）•$$（{\frac{3}{4}}）•（{1-\frac{4}{5}}）（{\frac{4}{5}}）+$${（{\frac{4}{5}}）^2}•{（{1-\frac{3}{4}}）^2}{（{1-\frac{4}{5}}）^2}$$（{\frac{3}{4}}）=\frac{73}{400}$，
$P（{ξ=3}）=C_2^1（{1-\frac{3}{4}}）•（{\frac{3}{4}}）$$•{（{\frac{4}{5}}）^2}+C_2^1{（{\frac{3}{4}}）^2}•（{\frac{4}{5}}）$$（{1-\frac{4}{5}}）=\frac{21}{50}$，
$P（{ξ=4}）={（{\frac{3}{4}}）^2}•$${（{\frac{4}{5}}）^2}=\frac{9}{25}$，
则ξ的概率分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{400}$	$\frac{7}{200}$	$\frac{73}{400}$	$\frac{21}{50}$	$\frac{9}{25}$

那么，所获金牌的数学期望$Eξ=0×\frac{1}{400}+1×\frac{7}{200}$$+2×\frac{73}{400}+3×\frac{21}{50}$$+4×\frac{9}{25}=\frac{31}{10}$（枚）
故中国乒乓球队获得金牌数的期望为$\frac{31}{10}$枚．

点评本题考查考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．