题目内容
5．定义：实数a，b，c若满足a+c=2b，则称a，b，c是等差的，若满足$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{c}$，则称a，b，c是调和的．已知集合M={x||x|≤2017，x∈Z}，集合P是集合M的三元子集，即P={a，b，c}⊆M，若集合P中的元素a，b，c既是等差的，又是调和的，则称集合P为“好集”的个数是1008．分析 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{c}$，且a+c=2b，（a-b）（a+2b）=0，可得a=-2b，c=4b，P={-2b，b，4b}．令-2017≤4b≤2017，解出即可得出．
解答 解：∵$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{c}$，且a+c=2b，
∴（a-b）（a+2b）=0，
∴a=b（舍），或a=-2b，∴c=4b，
∴P={-2b，b，4b}
令-2017≤4b≤2017，得-504-$\frac{1}{4}$≤b≤504+$\frac{1}{4}$，
∴“好集”P的个数为2×504=1008．
故答案：1008．
点评 本题考查了等差数列、集合的运算性质、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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