Question

平面上的动点P到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离．记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点M（1，1）的直线l与曲线C相交于A，B两点，且点M为线段AB的中点，求直线l的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用已知条件转化为抛物线方程求解即可．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），通过x₁=x₂，判断点M不为线段AB的中点，利用点在抛物线上，得到y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，两式相减求出直线l的斜率为2，得到直线方程．

解答： 解：（1）由条件可知：点P到点F（1，0）的距离与它到直线x=-1距离相等
∴点P的轨迹是以点F（1，0）为焦点的抛物线，设其方程为：y²=2px（p＞0），
则

p

2

=1，∴p=2．
∴曲线C的方程为y²=4x                   …（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若x₁=x₂，即直线l垂直于x轴，此时点M不为线段AB的中点，
所以x₁≠x₂，…（7分）
∵点M（1，1）为线段AB的中点，∴

x1+2

2

=1，

y1+y2

2

=1
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2                   …（8分）
又∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），在抛物线上，
∴y₁²=4x₁，…①
y₂²=4x₂，…②…（9分）
两式相减得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
又x₁≠x₂，∴

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

=

4

2

=2     …（11分）
即直线l的斜率为2，
∴直线l的方程为y-1=2（x-1），
即2x-y-1=0．经检验符合题意…（13分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．注意仔细的斜率是否存在是解题的易错点．